橡胶疲劳分析：裂纹扩展还是连续损伤？

在产品疲劳和耐久性评估中，选择裂纹扩展方法还是连续损伤方法，一直是个有争议的话题。

常见的做法是：在初始阶段使用连续损伤方法，此时还没有明显的裂纹；当损伤达到一定程度，再切换到裂纹扩展分析。也有些应用中，产品的大部分寿命消耗在裂纹萌生阶段，因此连续损伤方法被认为更合适。还有的情况是，产品在使用中已经存在可检测的裂纹，这时就需要采用断裂力学和裂纹扩展分析，预测裂纹扩展的速度以及何时达到临界尺寸。

最简单的连续损伤分析，使用Wöhler曲线（即S-N图）和Palmgren-Miner法则。

S-N图的构建方法如下：在不同应力幅值S下，对无裂纹的哑铃形试样进行疲劳试验，测量其失效循环次数N_f 。典型的S-N图如下图所示。图中表示疲劳极限，低于该应力水平时，预测不会发生失效。

Palmgren-Miner法则认为，在特定应力幅值S_i下，循环次数n_i造成的损伤，与该应力幅值下导致失效的循环次数N_fi成简单的线性比例关系：

然后，对不同应力幅值下的各个循环块进行损伤累加，当累积损伤D达到1时，预测发生失效。

这种方法的一个局限是：没有考虑加载顺序的影响。比如，从高应力幅值到低应力幅值，与从低到高，损伤累积速率是不同的。换句话说，损伤累积速率并不取决于当前的损伤状态。此外，测试结果往往有较大的分散性。在有限元实现中，损伤量会被跟踪至失效，损伤可以作为状态变量纳入本构方程，从而使刚度随损伤演化。

Endurica的疲劳分析方法结合了断裂力学、裂纹扩展和连续损伤方法的思路。

在大多数材料中，存在微米或亚微米级的初始微裂纹，它们成为裂纹扩展的起始点。填充弹性体已知存在许多微米级的不连续，例如空气空隙、填料团聚体或添加剂团聚块。这些被视为尺寸为c₀的初始裂纹，典型值在几十到几百微米之间。裂纹扩展分析用于预测循环次数，或一组循环的重复次数，直到裂纹达到指示产品寿命终结的长度。

这种方法使用能量释放率（或称撕裂能）作为驱动裂纹扩展的参数，而不是像S-N图那样使用应力作为损伤驱动参数。典型的曲线如下图所示。

与S-N图中的疲劳极限类似，这里有一个固有强度T₀，低于该值时预测不会发生裂纹扩展。曲线中幂律部分的斜率为F，可以表示为：

其中，rc是当T = Tc（临界撕裂能）时的裂纹扩展速率。在金属中这被称为Paris Law，在弹性体中被称为Thomas Law。

这种情况下的损伤率就是裂纹扩展速率dc/dN。损伤被跟踪为裂纹长度的预测值。在给定的一组循环中，损伤的总和可以表示为：

对于单边裂纹拉伸试样，撕裂能由下式给出：

在这些情况中，撕裂能以及裂纹扩展速率都依赖于裂纹长度c。

结合公式5和公式3，可以看到，损伤率dc/dN依赖于当前的损伤状态c，因此能够将顺序效应纳入分析。

在Endurica软件的有限元实现中，FEA模型中通常没有显式的裂纹。因此，以扩展裂纹形式计算损伤，在宏观尺度上类似于连续损伤方法。此外，还有联合仿真工作流程可用，其中FEA模型中每个单元的刚度随着该单元中裂纹长度的计算而演化。

Endurica的耐久性分析方法，在宏观尺度上可以看作是一种连续损伤方法，而在微观尺度上则使用断裂力学和裂纹扩展分析。断裂力学的使用带来了许多优势，包括：针对弹性体有充分发展和验证的理论基础、疲劳实验中的分散性较小、能够处理非线性损伤演化和顺序效应，以及能够方便地纳入温度、老化、应变结晶等多种因素。

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